|
Экзаменационные вопросы по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» 1 курс, II семестр 1. Линейное пространство над произвольным полем. Базис и размерность. 2. Изоморфизм линейных пространств. 3. Сумма и пересечение линейных пространств. 4. Прямая сумма линейных пространств. 5. Пространства со скалярным произведением. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. 6. Длина вектора. Тождество параллелограмма и критерий евклидовости нормы. 7. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Существование ортонормированного базиса. 8. Матрица Грама. Критерий линейной зависимости. 9. Ортогональное дополнение. Ортогональная сумма подпространств. Расстояние от вектора до подпространства. 10. Ортонормированный базис и унитарные (ортогональные) матрицы. 11. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. QR-разложение матрицы. 12. Линейное афинное многообразие в линейном пространстве. Гиперплоскость в евклидовом и унитарном пространстве. 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. 14. Матрица линейного оператора при переходе к другому базису. Эквивалентность и подобие матриц. 15. Линейные пространства линейных операторов и матриц. Произведение линейных операторов и его матрица. 16. Ядро и образ линейного оператора. Каноническая пара базисов. 17. Линейные функционалы. Сопряженное пространство. Линейные функционалы и гиперплоскости. 18. Обратный оператор. 19. Собственные значения и собственные векторы. Операторы простой структуры и диагонализуемые матрицы. 20. Характеристический многочлен линейного оператора. Существование собственных значений. 21. Инвариантные подпространства. Сужение оператора. 22. Инвариантные подпространства минимальной размерности. 23. Треугольная форма матрицы линейного оператора. Теорема Шура. 24. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимость его сужений. Корневые подпространства. 25. Расщепление линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств. 26. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве. 27. Критерий подобия матриц. 28. Теорема Гамильтона-Кэли. Минимальный многочлен. 29. Вещественный аналог жордановой формы. 30. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора. 31. Нормальный оператор и нормальная матрица. 32. Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы. 33. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитово разложение линейного оператора. 34. Симметрические операторы и симметрические матрицы. 35. Унитарные операторы и унитарные матрицы. 36. Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы. 37. Знакоопределенные операторы и матрицы. Квадратный корень из оператора. 38. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора (матрицы). 39. Ортогональные дополнения ядра и образа линейного оператора. Теорема и альтернатива Фредгольма. 40. Билинейные и квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Конгруэнтность и эрмитова конгруэнтность. 41. Закон инерции квадратичных форм. 42. Приведение квадратичной формы к главным осям. 43. Одновременное приведение к каноническому виду пары квадратичных форм. 44. Положительно определенные квадратичные формы. Критерии Сильвестра. 45. Общий вид скалярного произведения в конечномерном евклидовом и унитарном пространствах. 46. Гиперповерхность второго порядка в евклидовом пространстве. Приведенные уравнения. 47. Нормированное пространство. Нормы Гельдера. 48. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве. 49. Задача о наилучшем приближении в конечномерном нормированном пространстве. 50. Линейный оператор в нормированных пространствах. Непрерывность и ограниченность. Норма линейного оператора. 51. Матричные нормы. Унитарно инвариантные нормы. 52. Сингулярное разложение матрицы и обобщенное решение линейных систем. 53. Вариационные (экстремальные) свойства собственных значений самосопряженного оператора (матрицы). 54. Вариационные (экстремальные) свойства сингулярных чисел. 55. Соотношения разделения собственных значений и сингулярных чисел матриц и подматриц. |
Новости 