108 группа ВМиК МГУ <br />RSS-экспорт http://cmc0812.7pe.net Sat, 06 Sep 2008 20:43:30 +0300 FeedCreator 1.7.2 - RUS Patches by AndyR http://cmc0812.7pe.net/content/view/36/30/ Программа по математическому анализу 1 курс, 2 семестр, 2 поток Лектор Тихомиров В.В. 1. Отыскание точек локального экстремума функции. Достаточные условия экстремума. 2. Направление выпуклости графика функции и точки перегиба. Достаточные условия перегиба. 3. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графика функции. 4. Понятие интегрируемости функции. Леммы Дарбу о верхних и нижних суммах. 5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. 6. Классы интегрируемых функций. 7. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Формулы среднего значения. 8. Основная формула интегрального исчисления. Формулы замены переменного и интегрирования по частям. 9. Понятие длины плоской кривой. Формулы для вычисления длины дуги кривой. 10. Понятие квадрируемости (площади) плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора. Н. Понятие кубируемости (объем тела). Кубируемость некоторых классов тел. 12. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Формулы замены переменного и интегрирования по частям для несобственных интегралов. 13. Признак Абеля-Дирихле. Главное значение несобственного интеграла. 14. Метод хорд и его обоснование. 15. Метод касательных и его обоснование. 16. Приближенные методы вычисления определенных интегралов (для одного из методов вывести оценку погрешности). 17. Различные множества точек и последовательности точек n-мерного пространства. Теорема Больцано-Вейерштрасса. 18. Понятие функции n переменных и ее предельного значения. 19. Непрерывность функции n переменных. Основные теоремы о непрерывных функциях. 20. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Касательная плоскость к поверхности. 21. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. 22. Производная по направлению. Градиент. 23. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о равенстве смешанных производных. 24. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. 25. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. 26. Экстремум функции нескольких переменных и его отыскание. 27. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции. 28. Теорема о разрешимости системы функциональных уравнений. 29. Понятие зависимости функций. Функциональные матрицы и их роль при исследовании зависимости функций. 30. Условный экстремум и методы его отыскания. Новости - Новое Fri, 06 Jun 2008 16:40:22 +0300 http://cmc0812.7pe.net/content/view/35/30/ Экзаменационные вопросы по курсу &laquo;Линейная алгебра и аналитическая геометрия&raquo; 1 курс, II семестр 1. Линейное пространство над произвольным полем. Базис и размерность. 2. Изоморфизм линейных пространств. 3. Сумма и пересечение линейных пространств. 4. Прямая сумма линейных пространств. 5. Пространства со скалярным произведением. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. 6. Длина вектора. Тождество параллелограмма и критерий евклидовости нормы. 7. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Существование ортонормированного базиса. 8. Матрица Грама. Критерий линейной зависимости. 9. Ортогональное дополнение. Ортогональная сумма подпространств. Расстояние от вектора до подпространства. 10. Ортонормированный базис и унитарные (ортогональные) матрицы. 11. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. QR-разложение матрицы. 12. Линейное афинное многообразие в линейном пространстве. Гиперплоскость в евклидовом и унитарном пространстве. 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. 14. Матрица линейного оператора при переходе к другому базису. Эквивалентность и подобие матриц.15. Линейные пространства линейных операторов и матриц. Произведение линейных операторов и его матрица. 16. Ядро и образ линейного оператора. Каноническая пара базисов.17. Линейные функционалы. Сопряженное пространство. Линейные функционалы и гиперплоскости. 18. Обратный оператор.19. Собственные значения и собственные векторы. Операторы простой структуры и диагонализуемые матрицы.20. Характеристический многочлен линейного оператора. Существование собственных значений. 21. Инвариантные подпространства. Сужение оператора.22. Инвариантные подпространства минимальной размерности.23. Треугольная форма матрицы линейного оператора. Теорема Шура.24. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимость его сужений. Корневые подпространства. 25. Расщепление линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств.26. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.27. Критерий подобия матриц.28. Теорема Гамильтона-Кэли. Минимальный многочлен.29. Вещественный аналог жордановой формы.30. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.31. Нормальный оператор и нормальная матрица. 32. Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы.33. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитово разложение линейного оператора. 34. Симметрические операторы и симметрические матрицы.35. Унитарные операторы и унитарные матрицы.36. Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы. 37. Знакоопределенные операторы и матрицы. Квадратный корень из оператора.38. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора (матрицы).39. Ортогональные дополнения ядра и образа линейного оператора. Теорема и альтернатива Фредгольма.40. Билинейные и квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Конгруэнтность и эрмитова конгруэнтность.41. Закон инерции квадратичных форм.42. Приведение квадратичной формы к главным осям.43. Одновременное приведение к каноническому виду пары квадратичных форм. 44. Положительно определенные квадратичные формы. Критерии Сильвестра.45. Общий вид скалярного произведения в конечномерном евклидовом и унитарном пространствах.46. Гиперповерхность второго порядка в евклидовом пространстве. Приведенные уравнения.47. Нормированное пространство. Нормы Гельдера.48. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве.49. Задача о наилучшем приближении в конечномерном нормированном пространстве.50. Линейный оператор в нормированных пространствах. Непрерывность и ограниченность. Норма линейного оператора. 51. Матричные нормы. Унитарно инвариантные нормы.52. Сингулярное разложение матрицы и обобщенное решение линейных систем.53. Вариационные (экстремальные) свойства собственных значений самосопряженного оператора (матрицы). 54. Вариационные (экстремальные) свойства сингулярных чисел.55. Соотношения разделения собственных значений и сингулярных чисел матриц и подматриц. Новости - Новое Fri, 06 Jun 2008 16:29:28 +0300